【两个不独立的正态分布怎么相加】在概率论与数理统计中，正态分布是最常见的连续型概率分布之一。当两个随机变量都服从正态分布时，它们的和通常也服从正态分布，但这一结论成立的前提是这两个变量之间是否独立。如果两个正态分布的随机变量不独立，其和的分布则需要考虑它们之间的相关性或协方差。
本文将总结在两个正态分布不独立的情况下，如何求它们的和的分布，并以表格形式进行对比说明。
一、基本概念回顾
1. 正态分布（Normal Distribution）
若随机变量 $ X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2) $，表示 $ X $ 服从均值为 $ \mu_1 $、方差为 $ \sigma_1^2 $ 的正态分布。
2. 独立与不独立的定义
- 独立：若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则 $ \text{Cov}(X,Y) = 0 $。
- 不独立：若 $ X $ 与 $ Y $ 不独立，则存在非零的协方差 $ \text{Cov}(X,Y) $。
3. 线性组合的正态性
正态分布的一个重要性质是：任何正态分布的线性组合仍然是正态分布，无论变量是否独立。
二、两个不独立的正态分布的和
设 $ X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2) $，$ Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2) $，且 $ X $ 与 $ Y $ 不独立，它们的协方差为 $ \text{Cov}(X,Y) = \sigma_{XY} $。
那么，它们的和 $ Z = X + Y $ 的分布为：
$$
Z \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + 2\sigma_{XY})
$$
其中：
- 均值为两变量均值之和；
- 方差为两变量方差之和加上两倍的协方差。
三、总结与对比表
| 项目 | 两个独立的正态分布 | 两个不独立的正态分布 |
| 分布形式 | $ X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2) $ $ Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2) $ | $ X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2) $ $ Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2) $ |
| 是否独立 | 是 | 否 |
| 协方差 | $ \text{Cov}(X,Y) = 0 $ | $ \text{Cov}(X,Y) = \sigma_{XY} \neq 0 $ |
| 和的分布 | $ Z = X + Y \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2) $ | $ Z = X + Y \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + 2\sigma_{XY}) $ |
| 计算方式 | 仅需均值与方差相加 | 需要额外计算协方差 |
四、注意事项
- 在实际应用中，若不知道变量间是否独立，应通过数据或理论分析来估计协方差。
- 若两个正态分布变量的相关系数已知（如 $ \rho $），则协方差可表示为 $ \sigma_{XY} = \rho \sigma_1 \sigma_2 $。
- 该方法适用于任意线性组合，而不仅仅是简单的“相加”。
五、结语
在处理两个不独立的正态分布变量的和时，关键在于正确识别并计算它们的协方差。只有充分考虑变量之间的相关性，才能准确地描述其和的分布特性。这在金融建模、信号处理、统计推断等领域具有重要意义。
