【arctanx的积分等于什么】在数学中，求函数的积分是常见的问题之一。对于反三角函数如 $ \arctan x $，其积分虽然不直接显而易见，但通过适当的积分技巧可以得到结果。下面我们将总结 $ \arctan x $ 的积分公式，并以表格形式进行清晰展示。
一、积分公式总结
$ \int \arctan x \, dx $ 的积分结果可以通过分部积分法来推导。设：
$$
u = \arctan x, \quad dv = dx
$$
则有：
$$
du = \frac{1}{1 + x^2} dx, \quad v = x
$$
根据分部积分公式 $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $，我们得到：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx
$$
接下来计算第二个积分：
$$
\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
因此，最终结果为：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
其中 $ C $ 是积分常数。
二、关键信息总结表
| 积分表达式 | 积分结果 | 积分方法 | 说明 |
| $ \int \arctan x \, dx $ | $ x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ | 分部积分法 | 需要结合对数函数的积分 |
| 常数项 | $ C $ | 任意常数 | 由初始条件决定 |
三、实际应用建议
在实际应用中，若需计算定积分（例如从 $ a $ 到 $ b $），可以直接代入上述表达式进行计算。此外，在工程和物理问题中，这种积分也常用于解决与角度相关的微分方程或信号处理中的变换问题。
四、小结
$ \arctan x $ 的积分是一个典型的分部积分问题，其结果为：
$$
x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
掌握这一积分公式有助于更高效地解决相关数学问题，尤其是在高等数学和应用数学领域。
