在数学学习中，二元一次方程组是一个重要的知识点，它不仅能够帮助我们解决实际生活中的问题，还能为更复杂的数学问题奠定基础。为了更好地掌握这一知识点，我们需要通过大量的练习来熟悉其解法和步骤。下面，我们将通过几个具体的例子，详细展示如何求解二元一次方程组的过程，并提供完整的答案。
示例一：简单形式的二元一次方程组
假设我们有以下两个方程：
1. \(2x + 3y = 8\)
2. \(x - y = 1\)
解题步骤：
1. 选择一种方法进行消元或代入
这里我们可以选择代入法。从第二个方程中，我们可以得到 \(x = y + 1\)。
2. 将 \(x = y + 1\) 代入第一个方程
替换后得到：
\[
2(y + 1) + 3y = 8
\]
展开并整理：
\[
2y + 2 + 3y = 8
\]
合并同类项：
\[
5y + 2 = 8
\]
3. 解出 \(y\)
移项并计算：
\[
5y = 6 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{6}{5}
\]
4. 求 \(x\)
将 \(y = \frac{6}{5}\) 代入 \(x = y + 1\) 中：
\[
x = \frac{6}{5} + 1 = \frac{11}{5}
\]
答案：
\[
x = \frac{11}{5}, \quad y = \frac{6}{5}
\]
示例二：系数较大的二元一次方程组
假设我们有以下两个方程：
1. \(4x + 5y = 29\)
2. \(3x - 2y = 4\)
解题步骤：
1. 选择一种方法进行消元
这里我们选择消元法。首先找到两组方程中 \(x\) 或 \(y\) 的系数最小公倍数。例如，\(4\) 和 \(3\) 的最小公倍数是 \(12\)。
2. 调整系数以方便消元
将第一个方程乘以 \(3\)，第二个方程乘以 \(4\)，得到：
\[
12x + 15y = 87
\]
\[
12x - 8y = 16
\]
3. 消去 \(x\)
用第一个方程减去第二个方程：
\[
(12x + 15y) - (12x - 8y) = 87 - 16
\]
化简：
\[
23y = 71
\]
4. 解出 \(y\)
计算：
\[
y = \frac{71}{23}
\]
5. 求 \(x\)
将 \(y = \frac{71}{23}\) 代入原方程之一（如 \(4x + 5y = 29\)）中：
\[
4x + 5\left(\frac{71}{23}\right) = 29
\]
展开并整理：
\[
4x + \frac{355}{23} = 29
\]
移项并化简：
\[
4x = 29 - \frac{355}{23} = \frac{667}{23} - \frac{355}{23} = \frac{312}{23}
\]
解得：
\[
x = \frac{312}{23 \times 4} = \frac{78}{23}
\]
答案：
\[
x = \frac{78}{23}, \quad y = \frac{71}{23}
\]
示例三：应用题形式的二元一次方程组
某商店出售两种商品，A 和 B。已知购买 3 件 A 商品和 2 件 B 商品需要支付 40 元；购买 2 件 A 商品和 5 件 B 商品需要支付 55 元。问每件 A 商品和 B 商品的价格分别是多少？
解题步骤：
1. 设未知数
设 A 商品单价为 \(x\) 元，B 商品单价为 \(y\) 元。
2. 列出方程组
根据题意可得：
\[
3x + 2y = 40
\]
\[
2x + 5y = 55
\]
3. 选择一种方法进行消元
这里我们选择消元法。将第一个方程乘以 \(5\)，第二个方程乘以 \(2\)，得到：
\[
15x + 10y = 200
\]
\[
4x + 10y = 110
\]
4. 消去 \(y\)
用第一个方程减去第二个方程：
\[
(15x + 10y) - (4x + 10y) = 200 - 110
\]
化简：
\[
11x = 90
\]
解得：
\[
x = \frac{90}{11}
\]
5. 求 \(y\)
将 \(x = \frac{90}{11}\) 代入 \(3x + 2y = 40\) 中：
\[
3\left(\frac{90}{11}\right) + 2y = 40
\]
展开并整理：
\[
\frac{270}{11} + 2y = 40
\]
移项并化简：
\[
2y = 40 - \frac{270}{11} = \frac{440}{11} - \frac{270}{11} = \frac{170}{11}
\]
解得：
\[
y = \frac{170}{11 \times 2} = \frac{85}{11}
\]
答案：
\[
x = \frac{90}{11}, \quad y = \frac{85}{11}
\]
通过以上三个例子，我们可以看到，无论是简单的二元一次方程组还是复杂的应用题，只要掌握了正确的解题方法，都可以轻松求解。希望这些详细的解答能帮助大家更好地理解和掌握二元一次方程组的解法！
